Требуется фиксировать действия работника на одном конкретном сайте (возможно, на двух). Заходить на сайт он может под разными логинами.

Как это видим мы:
В браузере человек открывает только этот сайт и делает что-то на нем в течение дня. Когда человек открывает этот браузер, запись начинается автоматически. Когда человек скрывает или закрывает это окошко, запись останавливается. Было бы хорошо каким-то образом еще фиксировать активные действия, отслеживать, сколько времени человек просто сидел с открытым браузером, просто отошел, забыв закрыть.

Возможно, у вас уже есть подобный опыт и свое видение на этот счет, мы с удовольствием его узнаем.